信号与系统(B) 复习
信号与系统的基本概念
重点：
能量信号、功率信号、非能量非功率信号判断
能量信号：$E=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}\left|f(t)\right|^2\mathrm dt$ 为有限值。（离散：$E=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=-N}^{N}\left|f(k)\right|^2$）
功率信号：$P=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}{1\over 2T}\int_{-T}^{T}\left|f(t)\right|^2\mathrm dt$ 为有限值。（离散：$P=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}{1\over 2N+1}\sum\limits_{k=-N}^{N}\left|f(k)\right|^2$）
如果 $P,E$ 均为 $\infty$ ，则该信号既非功率信号，又非功率信号。
注：$\left|e^{\mathrm j(\omega t+\theta)}\right|=1$ 这里绝对值是取复数的模
对于不同功率的正弦信号，其平均功率可以叠加
系统的线性和时不变性判断
线性系统：（一定要注意题目中的 $t\ge 0$ ！）
需要满足以下三点条件：- 可分解性：系统响应 $y(t)/y(k)$ 可分解为零输入响应 $y_{zi}(t)/y_{zi}(k)$ 和零状态响应 $y_{zs}(t)/y_{zs}(k)$
- 零状态响应线性：设 $x_1(t),x_2(t)$ 单独激励时引起的零状态响应为 $y_{1zs},y_{2zs}$ ，则 $y_{1zs},y_{2zs}=\cdots$[套公式].当激励$x_a(t)=k_1x_1(t)+k_2x_2(t)$ 时， $y_{azs}=\cdots$[套公式] ，而 $k_1y_{1zs}+k_2y_{2zs}=\cdots$ ，比较得到线性/线性。
- 零输入响应线性：将激励 $x_{1/2/a}(t)$ 换成初始状态 $q_{1/2/a}(0)$ 即可。
注：方程只有一次项为线性，出现常数项为非线性。
时不变系统
若 $x(t)\rightarrow y(t)$，则 $x(t-t_d)\rightarrow y(t-t_d)$ ，为时不变系统。
判断方式：当激励 $x(t)=x(t-t_d)$ 时， $y(t)=\cdots$[替换掉公式中的$x(t)$] ，而 $y(t-t_d)=\cdots$，比较得结果。
注：只要 $x(t)$ 的系数不是常数则一定是时变系统，但对自变量 $t$ 或者 $x(t)$ 加减乘除常数就是时不变系统。
补充:
- …
连续时间信号与系统的时域分析
重点：
冲激函数的加权性、 筛选性
筛选性：$f(t)\cdot f(t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)$
取样性：$\int_a^b f(t)\cdot \delta(t-t_0)=\begin{cases}f(t_0),&t_0\in (a,b)\\0,&t_0\notin(a,b) \end{cases}$单位冲激函数的尺度变换性质
阶跃响应和冲激响应之间的关系
利用卷积的微积分性计算和画图
- 卷积的计算：$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{t_1}^{t-t_2} x(\tau)h(t-\tau)\mathrm d\tau\cdot u(t-t_1-t_2)$
（若 $x(t)/h(t)$ 为无始函数，可表示为：$x(t)=x(t)u(t+\infty)/h(t)=h(t)u(t+\infty)$ ）
补充:
- 卷积的性质
$x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=x(t-t_1-t_2)$
$x(t)*delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)$
区分：$\begin{cases}u(k)*u(k)=(k+1)u(k)\\u(t)*u(t)=tu(t)\end{cases}$
平移特性：$f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$
做题常用结论：$tu(t)*u(t)={1\over 2}t^2u(t)$，$u(t+1)*u(t-2)=(t-1)u(t-1)$
- 卷积的性质
离散时间信号与系统的时域分析
重点：
- 离散卷积
计算：$y(k)=x(k)*h(k)=\sum\limits_{n\rightarrow -\infty}^\infty x(n)h(k-n)$
性质：- $f(k-k_1)*\delta(k-k_2)=f(k-k_1-k_2)$
- $u(k-k_1)*u(k-k_2)=(k-k_1-k_2+1)u(k-k_1-k_2)$
- 不进位乘法
- 将 $x(k)$ 的值作为行，$h(k)$ 的值作为列，列表
- 对应行列上的数相乘，填表
- 画斜对角线（从右向左斜）
- 计算出每条斜对角线上的和
- 写出结果，并标出零点所在行列找到相交位置所在的斜对角线，作为结果的零点
- 离散卷积
补充：
- …
连续时间信号与系统的频域分析
重点：
时域信号的奇偶对称性与其频谱的奇偶对称性之间的关系
画功率谱图
求函数的傅里叶变换 对称性
傅里叶变换：$F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt$
傅里叶逆变换：$f(t)={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega$
常用函数的傅里叶变换：门函数 $A\cdot g_\tau(t)\leftrightarrow A\tau \mathrm{Sa}({\omega \tau\over 2})$
单边实指数衰减信号 $e^{-\alpha t}u(t)(\alpha>0)\leftrightarrow {1\over \alpha+\mathrm j\omega}$
双边实指数衰减信号 $e^{-\alpha|t|}u(t)(\alpha>0)\leftrightarrow {2\over \alpha^2+\omega^2}$
单位冲激信号 $\delta(t)\leftrightarrow 1$
直流信号 ${1\over 2\pi}\leftrightarrow \delta(\omega)$
符号函数 $\mathrm{sgn}(t)\leftrightarrow {2\over \mathrm j\omega}$
傅里叶变换的性质：
对称性：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ，则 $F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$
线性：若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega)$ ，对于任意常数 $a_1,a_2$ ，有 $a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(\omega)+a_2F_2(\omega)$
尺度变换特性（比例性）：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ，对于任意非零实常数 $a$ ，有 $f(at)\leftrightarrow {1\over |a|}F(\frac{\omega}{a})$
时移特性：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ，有 $f(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}F(\omega),t$ 为常数
频移性（调制定理）：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega),\omega_0$ 为常数，则：$ f(t)e^{\mathrm j\omega_0 t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) $（见 5.）
卷积定理：若 $f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega)$ ，则时域卷积定理有： $ {f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)} $；
频域卷积定理有： $ {f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow {1\over 2\pi}F_1(\omega)* F_2(\omega)} $
实域微分和积分：见4.
- 频域微分和积分：
- 频域微分性质：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ，则 $(-\mathrm jt)f(t)\leftrightarrow \frac{\mathrm dF(\omega)}{\mathrm d\omega}$，更实用的形式：$tf(t)\leftrightarrow \mathrm j\frac{\mathrm dF(\omega)}{\mathrm d\omega}$（，$t^nf(t)\leftrightarrow \mathrm j^n\frac{\mathrm d^nF(\omega)}{\mathrm d\omega^n}$）
- 频域积分性质：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ，则 $\pi f(0)\delta(t)+\frac{f(t)}{-\mathrm jt}\leftrightarrow \int_{-\infty}^\omega F(\Omega)\mathrm d\Omega$
微分冲激法
- 实域微分性质：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ，则 $\frac{\mathrm df(t)}{\mathrm dt}\leftrightarrow \mathrm j\omega F(\omega)$
- 实域积分性质：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ，则 $\int_{-\infty}^t f(\lambda)\mathrm d\lambda \leftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{\mathrm j\omega} F(\omega)$
- 微分冲击法：当 $\lim\limits_{|t|\rightarrow \infty}f(t)$ 为常数时，其频谱 $F(\omega)$ 不易求得，设 $f{\color{red}’}(t)=g(t)\leftrightarrow G(\omega)$ ，则 $F(\omega)=\frac{G(\omega)}{\mathrm j\omega}+\pi[f(\infty)+f(-\infty)]\delta(\omega)$
调制定理
定义：把信号搬移到不同的频段来实现频分多路通信。（频分复用）
$f(t)\cos \omega_0t\leftrightarrow {1\over 2}[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$
$f(t)\sin \omega_0t\leftrightarrow {\mathrm j\over 2}[F(\omega+\omega_0)-F(\omega-\omega_0)]$奈奎斯特取样率
取样定理（抽样定理）：利用连续信号在等时间间隔上的瞬移值来表示和恢复原信号，实现时分复用。也就是连续信号与离散信号之间相互转换的理论依据。（似乎没啥用）
取样信号 $f_s(t)=f(t)\cdot s(t)$ ( $s(t)$ 为取样脉冲序列，也叫开关函数)
取样定理的条件：- $f(t)$ 必须为频带有限信号（带限信号），即在 $|\omega|>\omega_m$ 时，其频谱 $F(\omega) =0$
- 取样率不能过低，必须满足 $f_s\ge 2f_m$
定义 $f_{smin}=2f_m$ 为奈奎斯特取样率。（注：$f={\omega\over 2\pi}$）
$f(\alpha t)\leftrightarrow {1\over \alpha}F({\omega\over\alpha})$ 的带宽为 $f(t)$ 的 $\alpha$ 倍。
时域中两个信号相乘，所得信号带宽为原来两个信号的带宽之和；时域中两个信号相加，所得信号的带宽为原来两个信号中带宽大的那个信号的带宽；时域卷积对应于频域相乘，带宽应取小的。滤波器
补充：
- …
连续时间系统的复频域分析
拉氏变换性质： 时移性
记 $s=\sigma+\mathrm j\omega$ 为复频率，则双边拉普拉斯正变换：$F(s)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt$双边拉普拉斯反变换：$f(t)={1\over 2\pi \mathrm j}\int_{\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty} F(s)e^{st}\mathrm ds$(只讨论单边)
单边拉普拉斯变换：$\mathcal L[f(t)]=F(s)=\int _{0^-}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt$
单边拉普拉斯反变换：$\mathcal L^{-1}[F(s)]=f(t)={1\over 2\pi \mathrm j}\int_{\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty} F(s)e^{st}\mathrm ds$
常用函数的拉普拉斯变换：- 指数信号 $e^{-\alpha t}u(t)\leftrightarrow {1\over s+\alpha}$
- 单位阶跃信号 $u(t)\leftrightarrow {1\over s}$
- 冲激函数 $\delta (t)\leftrightarrow 1$
- $tu(t)\leftrightarrow {1\over s^2}$
- $\sin\omega_0tu(t)\leftrightarrow {\omega_0\over s^2+\omega_0^2}$
- $\cos\omega_0tu(t)\leftrightarrow {s\over s^2+\omega_0^2}$
- $e^{-\alpha t}\sin\omega_0tu(t)\leftrightarrow {\omega_0\over (s+\alpha)^2+\omega_0^2}$
- $e^{-\alpha t}\cos\omega_0tu(t)\leftrightarrow {s+\alpha \over (s+\alpha)^2+\omega_0^2}$
拉普拉斯变换的性质：
- 线性：若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(s),f_2(t)\leftrightarrow F_2(s)$ ，对于任意常数 $a_1,a_2$ ，有 $a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(s)+a_2F_2(s)$
- 时移性：若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，有 $f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-s t_0}F(s)(t_0>0)$
周期信号的拉氏变换等于他第一个周期波形的拉氏变换 $F_1(s)$ 乘以因子 $1\over 1-e^{-sT}$ - 比例性：若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，则 $f(at)\leftrightarrow {1\over a}F(\frac{s}{a}),(a>0)$
- 频移性：若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，则：$ f(t)e^{\pm s_0 t}\leftrightarrow F(s\mp s_0) $，这里 $s_0$ 可以是实数，也可以是虚数或者复数
- 时域微分：若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，则 ${\mathrm df(t)\over \mathrm dt}\leftrightarrow sF(s)-f(0^-)$，${\mathrm d^nf(t)\over \mathrm dt^n}\leftrightarrow s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)\cdots-f^{(n-1)}(0^-)$（主要用于研究具有初始条件的微分方程）
- 时域积分：若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，则 $\int_{0-}^t f(\lambda)d\lambda \leftrightarrow {F(s)\over s},\int_{-\infty}^t f(\lambda)d\lambda \leftrightarrow {F(s)\over s}+{f^{(-1)}(0^-)\over s}$
- 复频域微分：若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，则 $tf(t)=-\frac{\mathrm dF(s)}{\mathrm ds}$
- 时域卷积定理：${f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(s)\cdot F_2(s)} $
- 复频域卷积定理：$ {f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow {1\over 2\pi}F_1(s)* F_2(s)} $
初值定理、终值定理
初值定理：设 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，且 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}sF(s)$ 存在，则 $f(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}f(t)=\lim\limits_{s\rightarrow \infty}sF(s)$
注：当 $F(s)$ 不是真分式时，先用长除法将其化成一个多项式和一个真分式之和，然后对真分式用初值定理
终值定理：设 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ，且 $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)$ 存在，则 $f(t)$ 的终值 $f(\infty)=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim\limits_{s\rightarrow 0}sF(s)$
注： $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)$ 存在相当于 $F(s)$ 的极点都在 $S$ 平面的左半平面，并且如果在虚轴上有极点的话， 只能在原点处有单极点。拉氏反变换 配方法
- $F(s)={N(s)\over D(s)}$，首先用长除法将 $F(s)$ 化成多项式与真分式之和，多项式的部分直接是冲激函数及其导数（例如$3s-5\leftrightarrow 3\delta’(t)-5\delta(t)$）
- 对于真分式：
- $D(s)=0$ 的根都是实根且无重根，则 $F(s)={k_1\over s-s_1}+{k_2\over s-s_2}+\cdots+{k_n\over s-s_n}$，通过遮挡法求出 $k_i$ ，此时 $\mathcal L^{-1}[F(s)]=[k_1e^{s_1t}+k_2e^{s_2t}+\cdots+k_ne^{s_nt}]u(t)$
- $D(s)=0$ 的根有复根且无重根，则将含有复根的项单独提出，剩下的按照1的方法做，然后通过对应项系数相等的方法求出含有复根的系数，之后用配方法做反变换。
- $D(s)=0$ 的根有重根，则将含有重根的项单独列出来写成 $p$ 个（假设有一个 $p$ 重根 $s_1$），即 $F(s)={k_{1p}\over (s-s_1)^p}+{k_{1(p-1)}\over (s-s_1)^{p-1}}+\cdots+{k_{11}\over (s-s_1)}+{N_1(s)\over D_1(s)}$ ，然后通过对应项系数相等法或公式法（两边同乘 $(s-s_1)^p$）求出$k_{ij}$，然后 $\mathcal L^{-1}[{k_{1i}\over (s-s_1)^i}]={k_{1i}\over (i-1)!}t^{i-1}e^{s_1t}$
连续系统的稳定性， 极点和稳定性的对应关系
求解系统微分方程：
- 对两边取拉氏变换，也就是将 $a_iy^{(n)}(t)$ 化为 $a_i[s^nY(s)-s^{n-1}y(0^-)-\cdots-s^0y^{(n-2)}(0^-)]$，将 $b_ix^{(n)}(t)$ 化为 $b_is^{n}X(s)$
- 将 $Y(s)$ 写到左边，其他写在右边，然后把系数除到右边去，得到 $Y(s)=Y_{zs}(s)+Y_{zi}(s)$，记 $Y_{zs}(s)=H(s)X(s)$，则 $H(s)={Y_{zs}(s)\over X(s)}$，称为系统函数
- 对 $Y(s)$ 进行反变换，可得全响应的时域表达式
判断系统的稳定性：
系统函数结合初值定理、 终值定理
求系统函数、 冲激响应
离散时间信号与系统的变换域分析
初值定理
$Z$ 变换：$F(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}$
常见信号的 $Z$ 变换：- 单位脉冲序列 $\delta(k)$：$\mathcal Z[\delta(k)]=1$
- 单位阶跃序列 $u(k)$：$\mathcal Z[u(k)]={z\over z-1}$
- 指数序列 $a^ku(k)$：$\mathcal Z[a^ku(k)]={z\over z-a}$
- 单边正弦序列$\sin\Omega_0ku(k)$：$\sin\Omega_0ku(k)\leftrightarrow {z\sin\Omega_0\over z^2-2z\cos\Omega_0+1}$
- 单边余弦序列$\cos\Omega_0ku(k)$：$\cos\Omega_0ku(k)\leftrightarrow {z(z-\cos\Omega_0)\over z^2-2z\cos\Omega_0+1}$
初值定理：若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$，且 $\lim\limits_{z\rightarrow \infty}F(z)$ 存在，则 $f(k)$ 的初值 $f(0)=\lim\limits_{z\rightarrow \infty}F(z)$
终值定理：若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$，且 $f(k)$ 的终值 $f(\infty)$ 存在，则 $f(\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}(z-1)F(z)$
$\mathrm Z$ 变换性质： 时移性
- 线性
- 移序（移位）性：若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$，则 $f(k+1)\leftrightarrow zF(z)-zf(0),f(k-1)\leftrightarrow z^{-1}F(z)+f(-1)$
- 比例性（尺度变换）： $a^kf(k)\leftrightarrow F({z\over a})$
- $Z$ 域微分
- $Z$ 域卷积定理
- 序列求和：$\sum\limits_{n=0}^{k}f(n)\leftrightarrow {z\over z-1}F(z)$
- 初值定理（见 1. ）
离散系统稳定性取决于系统函数的极点
求离散系统的单位函数响应、 零状态响应
画 $\mathrm Z$ 域的直接模拟图
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