信号与系统复习

信号与系统(B) 复习

信号与系统的基本概念

  • 重点:

    1. 能量信号、功率信号、非能量非功率信号判断
      能量信号:$E=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}\left|f(t)\right|^2\mathrm dt$ 为有限值。(离散:$E=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=-N}^{N}\left|f(k)\right|^2$)
      功率信号:$P=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}{1\over 2T}\int_{-T}^{T}\left|f(t)\right|^2\mathrm dt$ 为有限值。(离散:$P=\lim\limits_{N\rightarrow\infty}{1\over 2N+1}\sum\limits_{k=-N}^{N}\left|f(k)\right|^2$)
      如果 $P,E$ 均为 $\infty$ ,则该信号既非功率信号,又非功率信号。
      注:

      • $\left|e^{\mathrm j(\omega t+\theta)}\right|=1$ 这里绝对值是取复数的模

      • 对于不同功率的正弦信号,其平均功率可以叠加

    2. 系统的线性和时不变性判断

      • 线性系统:(一定要注意题目中的 $t\ge 0$ !)
        需要满足以下三点条件:

        1. 可分解性:系统响应 $y(t)/y(k)$ 可分解为零输入响应 $y_{zi}(t)/y_{zi}(k)$ 和零状态响应 $y_{zs}(t)/y_{zs}(k)$
        2. 零状态响应线性:设 $x_1(t),x_2(t)$ 单独激励时引起的零状态响应为 $y_{1zs},y_{2zs}$ ,则 $y_{1zs},y_{2zs}=\cdots$[套公式].当激励$x_a(t)=k_1x_1(t)+k_2x_2(t)$ 时, $y_{azs}=\cdots$[套公式] ,而 $k_1y_{1zs}+k_2y_{2zs}=\cdots$ ,比较得到线性/线性。
        3. 零输入响应线性:将激励 $x_{1/2/a}(t)$ 换成初始状态 $q_{1/2/a}(0)$ 即可。

        注:方程只有一次项为线性,出现常数项为非线性。

      • 时不变系统

若 $x(t)\rightarrow y(t)$,则 $x(t-t_d)\rightarrow y(t-t_d)$ ,为时不变系统。
判断方式:当激励 $x(t)=x(t-t_d)$ 时, $y(t)=\cdots$[替换掉公式中的$x(t)$] ,而 $y(t-t_d)=\cdots$,比较得结果。
注:只要 $x(t)$ 的系数不是常数则一定是时变系统,但对自变量 $t$ 或者 $x(t)$ 加减乘除常数就是时不变系统。

  • 补充:

连续时间信号与系统的时域分析

  • 重点:

    1. 冲激函数的加权性、 筛选性
      筛选性:$f(t)\cdot f(t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)$
      取样性:$\int_a^b f(t)\cdot \delta(t-t_0)=\begin{cases}f(t_0),&t_0\in (a,b)\\0,&t_0\notin(a,b) \end{cases}$

    2. 单位冲激函数的尺度变换性质

    3. 阶跃响应和冲激响应之间的关系

    4. 利用卷积的微积分性计算和画图

    • 卷积的计算:$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{t_1}^{t-t_2} x(\tau)h(t-\tau)\mathrm d\tau\cdot u(t-t_1-t_2)$
      (若 $x(t)/h(t)$ 为无始函数,可表示为:$x(t)=x(t)u(t+\infty)/h(t)=h(t)u(t+\infty)$ )
  • 补充:

    1. 卷积的性质
      $x(t-t_1)*\delta(t-t_2)=x(t-t_1-t_2)$
      $x(t)*delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)$
      区分:$\begin{cases}u(k)*u(k)=(k+1)u(k)\\u(t)*u(t)=tu(t)\end{cases}$
      平移特性:$f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$
      做题常用结论:$tu(t)*u(t)={1\over 2}t^2u(t)$,$u(t+1)*u(t-2)=(t-1)u(t-1)$

离散时间信号与系统的时域分析

  • 重点:

    1. 离散卷积
      计算:$y(k)=x(k)*h(k)=\sum\limits_{n\rightarrow -\infty}^\infty x(n)h(k-n)$
      性质:
      • $f(k-k_1)*\delta(k-k_2)=f(k-k_1-k_2)$
      • $u(k-k_1)*u(k-k_2)=(k-k_1-k_2+1)u(k-k_1-k_2)$
    2. 不进位乘法
      1. 将 $x(k)$ 的值作为行,$h(k)$ 的值作为列,列表
      2. 对应行列上的数相乘,填表
      3. 画斜对角线(从右向左斜)
      4. 计算出每条斜对角线上的和
      5. 写出结果,并标出零点所在行列找到相交位置所在的斜对角线,作为结果的零点
  • 补充:

连续时间信号与系统的频域分析

  • 重点:

    1. 时域信号的奇偶对称性与其频谱的奇偶对称性之间的关系

    2. 画功率谱图

    3. 求函数的傅里叶变换 对称性
      傅里叶变换:$F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt$
      傅里叶逆变换:$f(t)={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega$
      常用函数的傅里叶变换:

      • 门函数 $A\cdot g_\tau(t)\leftrightarrow A\tau \mathrm{Sa}({\omega \tau\over 2})$

      • 单边实指数衰减信号 $e^{-\alpha t}u(t)(\alpha>0)\leftrightarrow {1\over \alpha+\mathrm j\omega}$

      • 双边实指数衰减信号 $e^{-\alpha|t|}u(t)(\alpha>0)\leftrightarrow {2\over \alpha^2+\omega^2}$

      • 单位冲激信号 $\delta(t)\leftrightarrow 1$

      • 直流信号 ${1\over 2\pi}\leftrightarrow \delta(\omega)$

      • 符号函数 $\mathrm{sgn}(t)\leftrightarrow {2\over \mathrm j\omega}$

      傅里叶变换的性质:

      • 对称性:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

      • 线性:若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega)$ ,对于任意常数 $a_1,a_2$ ,有 $a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(\omega)+a_2F_2(\omega)$

      • 尺度变换特性(比例性):若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,对于任意非零实常数 $a$ ,有 $f(at)\leftrightarrow {1\over |a|}F(\frac{\omega}{a})$

      • 时移特性:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,有 $f(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}F(\omega),t$ 为常数

      • 频移性(调制定理):若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega),\omega_0$ 为常数,则:$ f(t)e^{\mathrm j\omega_0 t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) $(见 5.)

      • 卷积定理:若 $f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega),f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega)$ ,则时域卷积定理有: $ {f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)} $;

        频域卷积定理有: $ {f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow {1\over 2\pi}F_1(\omega)* F_2(\omega)} $

      • 实域微分和积分:见4.

    • 频域微分和积分:
      1. 频域微分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $(-\mathrm jt)f(t)\leftrightarrow \frac{\mathrm dF(\omega)}{\mathrm d\omega}$,更实用的形式:$tf(t)\leftrightarrow \mathrm j\frac{\mathrm dF(\omega)}{\mathrm d\omega}$(,$t^nf(t)\leftrightarrow \mathrm j^n\frac{\mathrm d^nF(\omega)}{\mathrm d\omega^n}$)
      2. 频域积分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $\pi f(0)\delta(t)+\frac{f(t)}{-\mathrm jt}\leftrightarrow \int_{-\infty}^\omega F(\Omega)\mathrm d\Omega$
    1. 微分冲激法

      • 实域微分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $\frac{\mathrm df(t)}{\mathrm dt}\leftrightarrow \mathrm j\omega F(\omega)$
      • 实域积分性质:若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ ,则 $\int_{-\infty}^t f(\lambda)\mathrm d\lambda \leftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{\mathrm j\omega} F(\omega)$
      • 微分冲击法:当 $\lim\limits_{|t|\rightarrow \infty}f(t)$ 为常数时,其频谱 $F(\omega)$ 不易求得,设 $f{\color{red}’}(t)=g(t)\leftrightarrow G(\omega)$ ,则 $F(\omega)=\frac{G(\omega)}{\mathrm j\omega}+\pi[f(\infty)+f(-\infty)]\delta(\omega)$
    2. 调制定理
      定义:把信号搬移到不同的频段来实现频分多路通信。(频分复用)
      $f(t)\cos \omega_0t\leftrightarrow {1\over 2}[F(\omega+\omega_0)+F(\omega-\omega_0)]$
      $f(t)\sin \omega_0t\leftrightarrow {\mathrm j\over 2}[F(\omega+\omega_0)-F(\omega-\omega_0)]$

    3. 奈奎斯特取样率
      取样定理(抽样定理):利用连续信号在等时间间隔上的瞬移值来表示和恢复原信号,实现时分复用。也就是连续信号与离散信号之间相互转换的理论依据。(似乎没啥用)
      取样信号 $f_s(t)=f(t)\cdot s(t)$ ( $s(t)$ 为取样脉冲序列,也叫开关函数)
      取样定理的条件:

      1. $f(t)$ 必须为频带有限信号(带限信号),即在 $|\omega|>\omega_m$ 时,其频谱 $F(\omega) =0$
      2. 取样率不能过低,必须满足 $f_s\ge 2f_m$

      定义 $f_{smin}=2f_m$ 为奈奎斯特取样率。(注:$f={\omega\over 2\pi}$)
      $f(\alpha t)\leftrightarrow {1\over \alpha}F({\omega\over\alpha})$ 的带宽为 $f(t)$ 的 $\alpha$ 倍。
      时域中两个信号相乘,所得信号带宽为原来两个信号的带宽之和;时域中两个信号相加,所得信号的带宽为原来两个信号中带宽大的那个信号的带宽;时域卷积对应于频域相乘,带宽应取小的。

    4. 滤波器

  • 补充:

连续时间系统的复频域分析

  1. 拉氏变换性质: 时移性
    记 $s=\sigma+\mathrm j\omega$ 为复频率,则
    双边拉普拉斯正变换:$F(s)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt$
    双边拉普拉斯反变换:$f(t)={1\over 2\pi \mathrm j}\int_{\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty} F(s)e^{st}\mathrm ds$(只讨论单边)
    单边拉普拉斯变换:$\mathcal L[f(t)]=F(s)=\int _{0^-}^\infty f(t)e^{-st}\mathrm dt$
    单边拉普拉斯反变换:$\mathcal L^{-1}[F(s)]=f(t)={1\over 2\pi \mathrm j}\int_{\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty} F(s)e^{st}\mathrm ds$
    常用函数的拉普拉斯变换:

    • 指数信号 $e^{-\alpha t}u(t)\leftrightarrow {1\over s+\alpha}$
    • 单位阶跃信号 $u(t)\leftrightarrow {1\over s}$
    • 冲激函数 $\delta (t)\leftrightarrow 1$
    • $tu(t)\leftrightarrow {1\over s^2}$
    • $\sin\omega_0tu(t)\leftrightarrow {\omega_0\over s^2+\omega_0^2}$
    • $\cos\omega_0tu(t)\leftrightarrow {s\over s^2+\omega_0^2}$
    • $e^{-\alpha t}\sin\omega_0tu(t)\leftrightarrow {\omega_0\over (s+\alpha)^2+\omega_0^2}$
    • $e^{-\alpha t}\cos\omega_0tu(t)\leftrightarrow {s+\alpha \over (s+\alpha)^2+\omega_0^2}$

    拉普拉斯变换的性质:

    • 线性:若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(s),f_2(t)\leftrightarrow F_2(s)$ ,对于任意常数 $a_1,a_2$ ,有 $a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(s)+a_2F_2(s)$
    • 时移性:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,有 $f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-s t_0}F(s)(t_0>0)$
      周期信号的拉氏变换等于他第一个周期波形的拉氏变换 $F_1(s)$ 乘以因子 $1\over 1-e^{-sT}$
    • 比例性:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 $f(at)\leftrightarrow {1\over a}F(\frac{s}{a}),(a>0)$
    • 频移性:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则:$ f(t)e^{\pm s_0 t}\leftrightarrow F(s\mp s_0) $,这里 $s_0$ 可以是实数,也可以是虚数或者复数
    • 时域微分:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 ${\mathrm df(t)\over \mathrm dt}\leftrightarrow sF(s)-f(0^-)$,${\mathrm d^nf(t)\over \mathrm dt^n}\leftrightarrow s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)\cdots-f^{(n-1)}(0^-)$(主要用于研究具有初始条件的微分方程)
    • 时域积分:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 $\int_{0-}^t f(\lambda)d\lambda \leftrightarrow {F(s)\over s},\int_{-\infty}^t f(\lambda)d\lambda \leftrightarrow {F(s)\over s}+{f^{(-1)}(0^-)\over s}$
    • 复频域微分:若 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,则 $tf(t)=-\frac{\mathrm dF(s)}{\mathrm ds}$
    • 时域卷积定理:${f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(s)\cdot F_2(s)} $
    • 复频域卷积定理:$ {f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow {1\over 2\pi}F_1(s)* F_2(s)} $
  2. 初值定理、终值定理
    初值定理:设 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,且 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}sF(s)$ 存在,则 $f(0^+)=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}f(t)=\lim\limits_{s\rightarrow \infty}sF(s)$
    注:当 $F(s)$ 不是真分式时,先用长除法将其化成一个多项式和一个真分式之和,然后对真分式用初值定理
    终值定理:设 $f(t)\leftrightarrow F(s)$ ,且 $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)$ 存在,则 $f(t)$ 的终值 $f(\infty)=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim\limits_{s\rightarrow 0}sF(s)$
    注: $\lim\limits_{t\rightarrow \infty}f(t)$ 存在相当于 $F(s)$ 的极点都在 $S$ 平面的左半平面,并且如果在虚轴上有极点的话, 只能在原点处有单极点。

  3. 拉氏反变换 配方法

    • $F(s)={N(s)\over D(s)}$,首先用长除法将 $F(s)$ 化成多项式与真分式之和,多项式的部分直接是冲激函数及其导数(例如$3s-5\leftrightarrow 3\delta’(t)-5\delta(t)$)
    • 对于真分式:
      1. $D(s)=0$ 的根都是实根且无重根,则 $F(s)={k_1\over s-s_1}+{k_2\over s-s_2}+\cdots+{k_n\over s-s_n}$,通过遮挡法求出 $k_i$ ,此时 $\mathcal L^{-1}[F(s)]=[k_1e^{s_1t}+k_2e^{s_2t}+\cdots+k_ne^{s_nt}]u(t)$
      2. $D(s)=0$ 的根有复根且无重根,则将含有复根的项单独提出,剩下的按照1的方法做,然后通过对应项系数相等的方法求出含有复根的系数,之后用配方法做反变换。
      3. $D(s)=0$ 的根有重根,则将含有重根的项单独列出来写成 $p$ 个(假设有一个 $p$ 重根 $s_1$),即 $F(s)={k_{1p}\over (s-s_1)^p}+{k_{1(p-1)}\over (s-s_1)^{p-1}}+\cdots+{k_{11}\over (s-s_1)}+{N_1(s)\over D_1(s)}$ ,然后通过对应项系数相等法或公式法(两边同乘 $(s-s_1)^p$)求出$k_{ij}$,然后 $\mathcal L^{-1}[{k_{1i}\over (s-s_1)^i}]={k_{1i}\over (i-1)!}t^{i-1}e^{s_1t}$
  4. 连续系统的稳定性, 极点和稳定性的对应关系

    • 求解系统微分方程:

      1. 对两边取拉氏变换,也就是将 $a_iy^{(n)}(t)$ 化为 $a_i[s^nY(s)-s^{n-1}y(0^-)-\cdots-s^0y^{(n-2)}(0^-)]$,将 $b_ix^{(n)}(t)$ 化为 $b_is^{n}X(s)$
      2. 将 $Y(s)$ 写到左边,其他写在右边,然后把系数除到右边去,得到 $Y(s)=Y_{zs}(s)+Y_{zi}(s)$,记 $Y_{zs}(s)=H(s)X(s)$,则 $H(s)={Y_{zs}(s)\over X(s)}$,称为系统函数
      3. 对 $Y(s)$ 进行反变换,可得全响应的时域表达式
    • 判断系统的稳定性:

  1. 系统函数结合初值定理、 终值定理

  2. 求系统函数、 冲激响应

离散时间信号与系统的变换域分析

  1. 初值定理
    $Z$ 变换:$F(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}$
    常见信号的 $Z$ 变换:

    • 单位脉冲序列 $\delta(k)$:$\mathcal Z[\delta(k)]=1$
    • 单位阶跃序列 $u(k)$:$\mathcal Z[u(k)]={z\over z-1}$
    • 指数序列 $a^ku(k)$:$\mathcal Z[a^ku(k)]={z\over z-a}$
    • 单边正弦序列$\sin\Omega_0ku(k)$:$\sin\Omega_0ku(k)\leftrightarrow {z\sin\Omega_0\over z^2-2z\cos\Omega_0+1}$
    • 单边余弦序列$\cos\Omega_0ku(k)$:$\cos\Omega_0ku(k)\leftrightarrow {z(z-\cos\Omega_0)\over z^2-2z\cos\Omega_0+1}$

    初值定理:若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$,且 $\lim\limits_{z\rightarrow \infty}F(z)$ 存在,则 $f(k)$ 的初值 $f(0)=\lim\limits_{z\rightarrow \infty}F(z)$

    终值定理:若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$,且 $f(k)$ 的终值 $f(\infty)$ 存在,则 $f(\infty)=\lim\limits_{z\rightarrow 1}(z-1)F(z)$

  2. $\mathrm Z$ 变换性质: 时移性

    • 线性
    • 移序(移位)性:若 $f(k)\leftrightarrow F(z)$,则 $f(k+1)\leftrightarrow zF(z)-zf(0),f(k-1)\leftrightarrow z^{-1}F(z)+f(-1)$
    • 比例性(尺度变换): $a^kf(k)\leftrightarrow F({z\over a})$
    • $Z$ 域微分
    • $Z$ 域卷积定理
    • 序列求和:$\sum\limits_{n=0}^{k}f(n)\leftrightarrow {z\over z-1}F(z)$
    • 初值定理(见 1. )
  3. 离散系统稳定性取决于系统函数的极点

  4. 求离散系统的单位函数响应、 零状态响应

  5. 画 $\mathrm Z$ 域的直接模拟图