高等数学复习

高等数学复习

极限与连续 $(15\%)$

一元函数微分学 $(35\%)$

一元函数积分学 $(35\%)$

  1. 常用技巧
    • 令 $I(n)=\int_0^{\pi\over 2}sin^n x$,则 $I(n)={n-1\over n}I(n-2)$
    • 令 $\Gamma(n+1)=\int_0^{+\infty}x^{n}e^{-x}dx$
      则 $\Gamma (n+1)=n\cdot\Gamma(n)\\ \Gamma(n+1)=n! \\ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi$
    • $\int_a^b{1\over (x-a)^q}dx$,当 $q<1$ 时收敛,$q\ge1$ 时发散;
      $\int _1^{+\infty}{1\over x^p}dx$,当 $p>1$ 时收敛,$p\le 1$ 时发散。
    • $\sqrt {a^2-x^2}\overset{x=a\sin t}{====}a\cos t$
      $\sqrt {x^2-a^2}\overset{x=a\sec t}{====}a\tan t$
      $\sqrt {a^2+x^2}\overset{x=a\tan t}{====}a\sec t$
      $\sqrt{ax+b}\overset{x=\sqrt{ax+b}}{====}t$
  2. 积分公式
    $$
    \begin{aligned}
    &\int \sec^2 x\mathrm{dx}=\tan x+C &
    &\int \csc^2 x\mathrm{dx}=-\cot x+C \\
    &\int \sec x\mathrm{dx}=\ln\left|\sec x+\tan x\right|+C &
    &\int \csc x\mathrm{dx}=\ln\left|\csc x-\cot x\right|+C \\
    &\int \tan x \mathrm{dx}=-\ln\left|\cos x\right|+C&
    &\int \cot x \mathrm{dx}=-\ln\left|\sin x\right|+C\\
    &\int \sec x\tan x\mathrm{dx}=\sec x+C &
    &\int \csc x\cot x\mathrm{dx}=-\csc x+C \\
    &\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a} +C&
    &\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{a^2\pm x^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\\
    &\color{red}{\int \frac{\mathrm{dx}}NaN=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C}&
    &\color{red}{\int \frac{\mathrm{dx}}NaN=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C} \\
    \end{aligned}
    $$

微分方程 $(15\%)$

  1. 一阶微分方程

    • $y’+P(x)y=Q(x)$,求通解.
      公式:$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]$
    • 可将 $xdx,ydy$ 拆到等号两边的题目,求通解。(以 $y’={2x\over y}$ 为例)
      将 $y’$ 变为 $\frac{dy}{dx}$ ,即 $\frac{dy}{dx}={2x\over y}$
      移项得: $ydy=2xdx$
      对等号两边同时积分:$\int ydy=\int 2xdx$
      即:${1\over 2}y^2+C_1=x^2+C_2$
      解得:$y=\pm\sqrt{2x^2+C}$
    • 有符合部分(${y\over x}$)的题目,求通解。(以 $y’={y\over x}+{1\over \sin{y\over x}}$ 为例)
      设部分为$u$ :$u={y\over x}\Rightarrow y=ux$
      令$y’=u+x\cdot {du\over dx}$ ,代入得:
      $$
      \begin{aligned}
      u+x{du\over dx}&=u+{1\over \sin u}\\
      x{du\over dx}&={1\over \sin u}\\
      \sin u du &= {dx\over x}\\
      \int \sin u du &= \int {1\over x}dx\\
      -\cos u+C_1&=\ln |x| +C_2\\
      u&=\arccos{(-\ln |x|+C)}\\
      y&=x\arccos{(-\ln |x|+C)}\\
      \end{aligned}
      $$
  2. 高阶线性微分方程

    • 含 $y,y’,y’’,\cdots$ ,不含 $x$ 的题目,求通解。( $n$ 阶常系数线性齐次方程)

      特征方程的根 通解
      单实根$\alpha$ $C\cdot e^{\alpha x}$
      一对单复根$\alpha\pm \beta i$ $e^{\alpha x}(C_1 \cos {\beta x}+C_2 \sin {\beta x})$
      $k$重实根$\alpha$ $e^{\alpha x}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})$
      一对$k$重复根$\alpha\pm \beta i$ $e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos {\beta x}+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin {\beta x}]$
    • 含 $y,y’,y’’,\cdots$ ,也含 $x$ 的题目(且 $f(x)=(x^m+x^{m-1}+\cdots)e^{\lambda x}$),求通解。( $n$ 阶常系数线性非齐次方程)
      将 $x$ 项改为 $0$ ,求这个式子的通解 $\overline y$
      将 $x$ 项化成 $x^me^{\lambda x}$ 的形式,求出 $m,\lambda$(直接和 $x$ 项比较,比如 $y’’’+2y’’+y’=e^x$ 就是 $m=0,\lambda=1$)
      根据 $\lambda$ 的值决定 $k$ 的值:

      $\lambda$ 不是特征方程的根 $k=0$
      $\lambda$ 是特征方程的单根 $k=1$
      $\lambda$ 是特征方程的复根 $k=2$

      将 $m,\lambda,k$ 的值代入:
      $y^*=x^k(b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m x^0)e^{\lambda x}$
      将 $y^*$ 代入微分方程,求出 $b$
      通解为:$y=\overline y+y^*$

      注:有时 $x$ 不止一项(比如 $y’’’+2y’’+y’=e^x+2x$),则对不同的含 $x$ 的项均求 $y^*$ ,然后和 $\overline y$ 加起来即可。

    • 含 $y,y’,y’’$ ,也含 $x$ 的题目(且 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos{\omega x}+P_n(x)\sin{\omega x}]$,$P_n(x)$ 为 $n$ 次多项式),求通解。( 二阶常系数线性非齐次方程)
      $y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos{\omega x}+R_m^{(2)}(x)\sin{\omega x}]$ ,$m=\max{(l,n)}$ ,当 $\lambda \pm i\omega$ 是特征方程的根时,取 $k=1$,否则 $k=0$.